高精度快速阶乘算法

高精度快速阶乘算法

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关键字：高精度阶乘算法

    我在业余时间开发了一套《超大整数完全精度快速算法库》HugeCalc，可快速计算超大整数的加、减、乘、除（商/余）、乘方、开方，也可快速计算大数的 Fibonacci 数列、（双）阶乘、排列、组合等，还可完成超大整数数组的最大公约数、最小公倍数等数论运算，现在，该套软件已被华军、天空、电脑之家、天天等下载站点收录。

    自在网上公开以来，广受网友关注，经常有网友来联系，想交流一些算法心得。其中涉及最多的是关于“阶乘”算法，部分是在校大学生，也许是他们的毕业设计？:)

    这里，我就把关于该算法模块的核心部分，也就是一些关键点，整理出来，以供大家参考。

    阶乘，是求一组数列的乘积，其效率的高低，一、是取决于高精度乘法算法，二、是针对阶乘自身特点算法的优化。
    前者，是一种广为习知的技术，虽然不同算法效率可天壤之别，但终究可以通过学习获得，甚至可用鲁迅先生的“拿来主义”；
    后者，则有许多的发展空间，这里我将介绍一种由我完全独创的一种方法，欢迎大家讨论，如能起到“抛砖引玉”的效果，那就真正达到了目的。

    我在开发“阶乘”类算法时，始终遵循如下原则：

参与高精度乘法算法的两数，大小应尽可能地相近；
尽可能将乘法转化为乘方；
尽可能地优先调用平方；

    言归正转，下面以精确计算 1000! 为例，阐述该算法：

    记 F1(n) = n*(n-1)*...*1；
       F2(n) = n*(n-2)*...*(2 or 1)；
       Pow2(r) = 2^r；
    有 F1(2k+1) = F2(2k+1) * F2(2k)
           = Pow2(k) * F2(2k+1) * F1(k),
       F1(2k) = Pow2(k) * F2(2k-1) * F1(k),
    及 Pow2(u) * Pow2(v) = Pow2(u+v),

∴ 1000! = F1(1000)
         = Pow2(500)*F2(999)*F1(500)
         = Pow2(750)*F2(999)*F2(499)*F1(250)
         = Pow2(875)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F1(125)
         = Pow2(937)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F1(62)
         = Pow2(968)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)*F1(31)
         = Pow2(983)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)*F2(31)*F1(15)
         = ...

    如果你预存了某些小整数阶乘（比如这里的“F1(15)”），则可提前终止分解，否则直至右边最后一项为“F1(1)”为止；这样，我们将阶乘转化为2的整数次幂与一些连续奇数的积（或再乘以一个小整数的阶乘）；

    再定义：F2(e,f) = e*(e-2)*...*(f+2)，这里仍用“F2”，就当是“函数重载”好了:)，
    则 F2(e) = F2(e,-1) = F2(e,f)*F2(f,-1) （e、f为奇数，0≤f≤e）

∴ F2(999) = F2(999,499)*F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),
   F2(499) = ____________F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),
   F2(249) = ________________________F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),
   F2(125) = ____________________________________F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),
   F2( 61) = _______________________________________________F2(61,31)*F2(31),
   F2( 31) = _________________________________________________________F2(31),
∴ F1(1000) = F1(15) * Pow2(983) * F2(999,499) \
                 * [F2(499,249)^2] * [F2(249,125)^3] \
                 * [F2(61,31)^4] * [F2(31)^5]
    这样，我们又将阶乘转化为了乘方运算。

    上式实际上是个形如 a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 的式子；我们再将指数转化为二进制，可得到如下公式：
        a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 = (a*c*e)*[(b*c)^2]*[(d*e)^4]
                                  = (((e*d)^2)*(c*b))^2*(e*c*a)，
即可转化成了可充分利用高效的平方算法。

    最后，我再提供大家一个确保“小整数累乘不溢出”的技巧，这是我自创的，相信会对大家有借鉴作用：

应采用“倒序”，比方说，应按 999 * 997 * ... 的顺序；
可预先设定一个数组，记录如果当前起始数组的最大值不大于某个值，则连乘多少个数不会溢出；
可利用“几何平均值≤算术平均值”定理，可推导出“ k 个正整数连乘不大于某个定值，其充分条件是其和不大于某个临界值”，我们只需要事先计算出它们的对应关系并保存下来。

上述算法是 HugeCalc Ver1.2.0.1 的算法关键点，其效率已略高于liangbch(宝宝)的高级算法3.0版。

在最新的 HugeCalc Ver2.1.0.1 中，采用的是更彻底的分解成质因数的方法，技巧性倒反不如上面的强（但却需要有高效的素数筛法），但里面的很多思想仍在延续。

备注：

n!	digits	A2-1	A2-0	A1-1	A1-0	A0-0	B	C
10,000!	35,660	0.004586 s	0.004682 s	0.006145 s	0.006254 s	0.007348 s	2.168x10^-19 s	0.095 s
100,000!	456,574	0.074358 s	0.081094 s	0.110150 s	0.121145 s	0.333286 s	0.047 s	0.188 s
200,000!	973,351	0.159463 s	0.179471 s	0.251844 s	0.280748 s	1.026817 s	0.156 s	0.234 s
400,000!	2,067,110	0.372189 s	0.408471 s	0.580490 s	0.649423 s	3.142477 s	0.36 s	0.578 s
800,000!	4,375,040	0.857702 s	0.934181 s	1.348855 s	1.526333 s	9.304887 s	0.875 s	1.391 s
1,000,000!	5,565,709	1.087945 s	1.208318 s	1.781194 s	2.023373 s	13.692116 s	1.265 s	0.891 s
10,000,000!	65,657,060	14.922132 s	17.024912 s	24.660277 s	28.985707 s	-----------	20.141 s	57.687 s
20,000,000!	137,334,715	30.775132 s	35.551279 s	51.123602 s	61.061514 s	-----------	46.484 s	--------
40,000,000!	286,710,625	67.570732 s	78.600010 s	112.555688 s	136.195050 s	-----------	108.891 s	--------

CPU: AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 4800+, 2.512GHz(201MHz x12.5), L1 Cache 64KB, L2 Cache 512KB (参见：CPU-Z 1.42 报告)
OS : Windows XP SP2
RAM: 2GB DDR2 - 800MHz

  A -- HugeCalc V8.0.0.0
     A2-1 --> HugeCalc.ini: NumOfCores = 2; SSE2Support = 1; (测试双核、SSE2指令加速)
     A2-0 --> HugeCalc.ini: NumOfCores = 2; SSE2Support = 0; (测试双核、ALU 指令加速)
     A1-1 --> HugeCalc.ini: NumOfCores = 1; SSE2Support = 1; (测试单核、SSE2指令加速)
     A1-0 --> HugeCalc.ini: NumOfCores = 1; SSE2Support = 0; (测试单核、ALU 指令加速)
     A0-0 --> HugeCalc.ini: NumOfCores = 0; SSE2Support = 0; (测试无高级算法参与)
  B -- Mathematica V6.0.1.0
  C -- Maple V11.0 ( February 17 2007, Build ID 277223 )

作者：郭先强；初稿：2004-06-14；本站发布日期：2004-06-15；
本文的初稿发表于著名的“CSDN - 技术社区 - 专题开发数据结构与算法问题”版，原稿请参见本站的原版收藏贴（原贴已不幸被 csdn “私吞”）；
相关下载：超大整数完全精度快速计算器/算法库

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