十五阶纯幻方构造法㈠

十五阶纯幻方构造法
（征求意见稿）
兰州市永昌路298号201室 730030 黄均迪

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㈠由15个数码的特殊圆排列来构造：L₁每行（列）都是15个数码的相同圆排列，L₁上下（或左右）翻转为R₁。对L₁、R₁成对地互换一些数码可得许多个L_i和R_j，每个L_i与每个R_i正交。限于篇幅，这里仅给出L₂、R₂。设L_iR_j=15L_i+R_j，R_jL_i=15R_j+L_i；当i＝j时，L_iR_j、R_jL_i都是自身镜像结构，二者完全相同；当i≠j时，L_iR_j≠R_jL_i。故可合成大量不同结构的15阶对称纯幻方。

L₁
14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3
4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1
10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12
0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9
3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8
1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦
12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6
9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5
8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2
⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13
6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11
5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14
2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4
13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10
11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0

R₁
11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0
13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10
2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4
5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14
6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11
⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13
8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2
9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5
12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6
1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦
3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8
0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9
10	13	⑦	1	4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12
4	2	8	3	14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1
14	5	9	0	11	6	12	10	13	⑦	1	4	2	8	3

L₂
14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3
9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1
5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2
0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4
3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8
1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦
2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6
4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10
8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12
⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13
6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11
10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14
12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9
13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5
11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0

R₂
11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0
13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5
12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9
10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14
6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11
⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13
8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12
4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10
2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6
1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦
3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8
0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4
5	13	⑦	1	9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2
9	12	8	3	14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1
14	10	4	0	11	6	2	5	13	⑦	1	9	12	8	3

用L₁、R₁，L₂、R₂可合成6个不同构的15阶对称纯幻方：L₁R₁=R₁L₁、L₂R₂=R₂L₂、L₁R₂、R₂L₁、L₂R₁、R₁L₂。下面是其中的两个H₁、H₂。

**H₁＝15L₁＋R₁＝15R₁＋L₁**
221	81	147	10	178	97	181	154	197	113	18	74	35	129	45
73	37	121	49	212	83	138	14	170	99	180	161	201	117	25
152	203	108	29	65	39	120	56	216	87	145	13	172	91	184
5	174	90	191	156	207	115	28	67	31	124	47	218	78	149
51	222	85	148	7	166	94	182	158	198	119	20	69	30	131
22	61	34	122	53	213	89	140	9	165	101	186	162	205	118
188	153	209	110	24	60	41	126	57	220	88	142	1	169	92
144	0	176	96	192	160	208	112	16	64	32	128	48	224	80
132	55	223	82	136	4	167	98	183	164	200	114	15	71	36
106	19	62	38	123	59	215	84	135	11	171	102	190	163	202
93	194	155	204	105	26	66	42	130	58	217	76	139	2	173
75	146	6	177	100	193	157	196	109	17	68	33	134	50	219
40	133	52	211	79	137	8	168	104	185	159	195	116	21	72
199	107	23	63	44	125	54	210	86	141	12	175	103	187	151
179	95	189	150	206	111	27	70	43	127	46	214	77	143	3

**5×5 菱形小区**
				□
			□		□
		□		□		□
	□		□		□		□
□		□		□		□		□
	□		□		□		□
		□		□		□
			□		□
				□

**H₂＝15R₂＋L₁≠15L₁＋R₂**
179	95	39	75	206	111	27	145	193	127	46	214	152	68	3
199	107	23	138	194	125	54	210	161	66	12	175	103	37	76
190	133	52	211	154	62	8	168	104	35	84	195	116	21	147
150	71	6	177	100	43	82	196	109	17	143	183	134	50	219
93	44	80	204	105	26	141	192	130	58	217	151	64	2	173
106	19	137	188	123	59	215	159	60	11	171	102	40	88	202
132	55	223	157	61	4	167	98	33	89	200	114	15	146	186
69	0	176	96	42	85	208	112	16	139	182	128	48	224	155
38	78	209	110	24	135	191	126	57	220	163	67	1	169	92
22	136	184	122	53	213	164	65	9	165	101	36	87	205	118
51	222	160	73	7	166	94	32	83	198	119	20	144	180	131
5	174	90	41	81	207	115	28	142	181	124	47	218	153	74
77	203	108	29	140	189	120	56	216	162	70	13	172	91	34
148	187	121	49	212	158	63	14	170	99	30	86	201	117	25
221	156	72	10	178	97	31	79	197	113	18	149	185	129	45

**3×3 菱形小区**
		□
	□		□
□		□		□
	□		□
		□

    由于从L₁到L₂只互换了3对6个数码，占15个数码的2/5，因此在H₁、H₂中有3/5的元素相对位置保持不变。
    H₁、H₂的性质是有趣的：
    因为在L₁、L₂中，任一／方向斜线上任意相连的3个数码之和为定值21，任一＼方向斜线上任意相连的5个数码之和为定值35；而在R₁、R₂中，任一／方向斜线上任意相连的5个数码之和为定值35，任一＼方向斜线上任意相连的3个数码之和为定值21。这种结构上的特征决定了H₁、H₂的有趣性质——任意3×3菱形小区中的9个数之和为定值15×3×21＋3×21＝1008；任意5×5菱形小区中的25个数之和为定值15×5×35＋5×35＝2800；两种等和数组各225组。
    改变15个数码的特殊圆排列和逐行马步的步长，可得不同结构的L_i、R_j，进而合成更大量的不同构15阶对称和不对称纯幻方。（此法简称“1×15线形”）

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