十五阶纯幻方构造法㈢

十五阶纯幻方构造法
（征求意见稿）
兰州市永昌路298号201室 730030 黄均迪

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㈢由一个25进制的15阶全等和子方阵和一个9进制的15阶全等和子方阵来构造：L₄是9个5阶纯幻方的重排，是25进制的15阶全等和子方阵；R₄是9进制的15阶全等和子方阵。L₄、R₄正交，H₄＝9L₄＋R₄是15阶纯幻方。H₄也有特别的性质——任意5×5小区中的25数之和为定值2800，即25宫一律化，也有225组。当然，按25R₄＋L₄也可得到不同的15阶纯幻方。
同样的，此法的变化众多：5阶纯幻方有144类、3600个，任一个都可重排成L₄；至于R₄，对其进行旋转、翻转可产生8种同构体，每一个与L₄都正交，合成15阶纯幻方却都不同构。更有甚者的是，对R₄进行依序的行（列）变换可产生225个同构体，每一个与L₄也都正交，合成的15阶纯幻方大部分都不同构。另外，还存在极多不同构的R₄。关于R₄及下面R₅的构造法，详见附录A。（此法简称“5×5方形”）

L₄

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

23	2	6	10	19
5	14	18	22	1
17	21	0	9	13
4	8	12	16	20
11	15	24	3	7

R₄

0	3	0	6	6
1	④	1	7	7
0	3	0	6	6
2	5	2	8	8
2	5	2	8	8

1	④	1	7	7
2	5	2	8	8
1	④	1	7	7
0	3	0	6	6
1	④	1	7	7

2	5	2	8	8
0	3	0	6	6
2	5	2	8	8
1	④	1	7	7
0	3	0	6	6

3	6	3	0	3
④	7	④	1	④
3	6	3	0	3
5	8	5	2	5
5	8	5	2	5

④	7	④	1	④
5	8	5	2	5
④	7	④	1	④
3	6	3	0	3
④	7	④	1	④

5	8	5	2	5
3	6	3	0	3
5	8	5	2	5
④	7	④	1	④
3	6	3	0	3

6	0	6	3	0
7	1	7	④	1
6	0	6	3	0
8	2	8	5	2
8	2	8	5	2

7	1	7	④	1
8	2	8	5	2
7	1	7	④	1
6	0	6	3	0
7	1	7	④	1

8	2	8	5	2
6	0	6	3	0
8	2	8	5	2
7	1	7	④	1
6	0	6	3	0

**H₄＝9L₄＋R₄**
207	21	54	96	177	208	22	55	97	178	209	23	56	98	179
46	130	163	205	16	47	131	164	206	17	45	129	162	204	15
153	192	0	87	123	154	193	1	88	124	155	194	2	89	125
38	77	110	152	188	36	75	108	150	186	37	76	109	151	187
101	140	218	35	71	100	139	217	34	70	99	138	216	33	69
210	24	57	90	174	211	25	58	91	175	212	26	59	92	176
49	133	166	199	13	50	134	167	200	14	48	132	165	198	12
156	195	3	81	120	157	196	4	82	121	158	197	5	83	122
41	80	113	146	185	39	78	111	144	183	40	79	112	145	184
104	143	221	29	68	103	142	220	28	67	102	141	219	27	66
213	18	60	93	171	214	19	61	94	172	215	20	62	95	173
52	127	169	202	10	53	128	170	203	11	51	126	168	201	9
159	189	6	84	117	160	190	7	85	118	161	191	8	86	119
44	74	116	149	182	42	72	114	147	180	43	73	115	148	181
107	137	224	32	65	106	136	223	31	64	105	135	222	30	63

值得注意的是，上面的H₄及下面的H₅都是“无理”的15阶纯幻方，因为按15进制分解后，两个15进制子方阵都不是全等和的，但符合15进制的出入互补。一个全等和的纯幻方可以分解为两个不全等和的子方阵，这种奇异的现象对传统的构造法而言是不可思议的。

还可有下面的“3×3方形”构造法：

L₅

23	23	23
23	23	23
23	23	23

2	2	2
2	2	2
2	2	2

6	6	6
6	6	6
6	6	6

10	10	10
10	10	10
10	10	10

19	19	19
19	19	19
19	19	19

5	5	5
5	5	5
5	5	5

14	14	14
14	14	14
14	14	14

18	18	18
18	18	18
18	18	18

22	22	22
22	22	22
22	22	22

1	1	1
1	1	1
1	1	1

17	17	17
17	17	17
17	17	17

21	21	21
21	21	21
21	21	21

0	0	0
0	0	0
0	0	0

9	9	9
9	9	9
9	9	9

13	13	13
13	13	13
13	13	13

4	4	4
4	4	4
4	4	4

8	8	8
8	8	8
8	8	8

12	12	12
12	12	12
12	12	12

16	16	16
16	16	16
16	16	16

20	20	20
20	20	20
20	20	20

11	11	11
11	11	11
11	11	11

15	15	15
15	15	15
15	15	15

24	24	24
24	24	24
24	24	24

3	3	3
3	3	3
3	3	3

7	7	7
7	7	7
7	7	7

R₅

0	1	2
3	④	5
6	7	8

3	④	5
6	7	8
0	1	2

0	1	2
3	④	5
6	7	8

6	7	8
0	1	2
3	④	5

6	7	8
3	④	5
0	1	2

1	2	0
④	5	3
7	8	6

④	5	3
7	8	6
1	2	0

1	2	0
④	5	3
7	8	6

7	8	6
1	2	0
④	5	3

7	8	6
④	5	3
1	2	0

0	1	2
3	④	5
6	7	8

3	④	5
6	7	8
0	1	2

0	1	2
3	④	5
6	7	8

6	7	8
0	1	2
3	④	5

6	7	8
3	④	5
0	1	2

2	0	1
5	3	④
8	6	7

5	3	④
8	6	7
2	0	1

2	0	1
5	3	④
8	6	7

8	6	7
2	0	1
5	3	④

8	6	7
5	3	④
2	0	1

2	1	0
5	④	3
8	7	6

5	④	3
8	7	6
2	1	0

2	1	0
5	④	3
8	7	6

8	7	6
2	1	0
5	④	3

8	7	6
5	④	3
2	1	0

**H₅＝9L₅＋R₅**
207	208	209	21	22	23	54	55	56	96	97	98	177	178	179
210	211	212	24	25	26	57	58	59	90	91	92	174	175	176
213	214	215	18	19	20	60	61	62	93	94	95	171	172	173
46	47	45	130	131	129	163	164	162	205	206	204	16	17	15
49	50	48	133	134	132	166	167	165	199	200	198	13	14	12
52	53	51	127	128	126	169	170	168	202	203	201	10	11	9
153	154	155	192	193	194	0	1	2	87	88	89	123	124	125
156	157	158	195	196	197	3	4	5	81	82	83	120	121	122
159	160	161	189	190	191	6	7	8	84	85	86	117	118	119
38	36	37	77	75	76	110	108	109	152	150	151	188	186	187
41	39	40	80	78	79	113	111	112	146	144	145	185	183	184
44	42	43	74	72	73	116	114	115	149	147	148	182	180	181
101	100	99	140	139	138	218	217	216	35	34	33	71	70	69
104	103	102	143	142	141	221	220	219	29	28	27	68	67	66
107	106	105	137	136	135	224	223	222	32	31	30	65	64	63

H₄、H₅都是不对称的15阶纯幻方，能否用此法构造对称的15阶纯幻方？答案是肯定的。因为对称的5阶纯幻方有16个，都可用来构造对称的25进制15阶全等和子方阵，而对称的9进制15阶全等和子方阵则更多，其构造法请见附录A。

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